题型： 解答题 难度： 一般
    已知函数f（x）满足f（x+1）=3f（x）+2，若a1=1，an=f（n）．
    （1）设Cn=an+1，证明：{Cn}是等比数列；
    （2）设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn．
    答案
    （1）∵f（x+1）=3f（x）+2，an=f（n），
    ∴

cn+1

cn

=

an+1+1

an+1

=

3an+3

an+1

=3，
    又a1=1，于是c1=a1+1=2，
    ∴数列{Cn}是以2为首项，3为公比的等比数列；
    （2）由（1）知，cn=2?3n-1，而Cn=an+1，
    ∴an=2?3n-1-1，
    ∴Sn=a1+a2+…+an
    =2（1+3+32+…+3n-1）-n
    =2×

1-3n

1-3

-n
    =3n-n-1．
    

Q：本题的题型是什么？
A：解答题。
Q：本题的难度如何？
A：一般。
Q：已知函数\(f(x)\)满足什么条件？
A：\(f(x + 1) = 3f(x) + 2\)，且\(a_1 = 1\)，\(a_n = f(n)\)。
Q：要证明什么？
A：证明\(\{C_n\}\)是等比数列，其中\(C_n = a_n + 1\)。
Q：如何证明\(\{C_n\}\)是等比数列？
A：通过计算\(\frac{C_{n + 1}}{C_n} = \frac{a_{n + 1} + 1}{a_n + 1} = \frac{3a_n + 3}{a_n + 1} = 3\)，且\(C_1 = a_1 + 1 = 2\)，所以数列\(\{C_n\}\)是以\(2\)为首项，\(3\)为公比的等比数列。
Q：\(C_n\)的通项公式是什么？
A：\(C_n = 2\cdot3^{n - 1}\)。
Q：\(a_n\)的表达式是什么？
A：\(a_n = 2\cdot3^{n - 1} - 1\)。
Q：数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)怎么求？
A：\(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 2(1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n - 1}) - n = 2\times\frac{1 - 3^n}{1 - 3} - n = 3^n - n - 1\)。
Q：求\(S_n\)时用到了什么公式？
A：等比数列求和公式\(S = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)（这里\(a_1 = 1\)，\(q = 3\)）。
Q：\(a_1\)的值是多少？
A：\(a_1 = 1\)。