题型： 解答题 难度： 一般
    已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1=a4=14．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）设由bn=

Sn

n+c

（c≠0）构成的新数列为{bn}，求证：当且仅当c=-

1

2

时，数列{bn}是等差数列；
    （3）对于（2）中的等差数列{bn}，设cn=

8

(an+7)?bn

（n∈N*），数列{cn}的前n项和为Tn，现有数列{f（n）}，f（n）=Tn?（an+3-

8

bn

）?0.9n（n∈N*），是否存在n0∈N*，使f（n）≤f（n0）对一切n∈N*都成立？若存在，求出n0的值，若不存在，请说明理由．
    答案
    （1）∵等差数列{an}中，公差d＞0，
    ∴

a2?a3=45 a1+a4=14

?

a2?a3=45 a2+a3=14

?

a2=5 a3=9

?d=4?an=4n-3（3分）
    （3分）
    （2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
    由2b2=b1+b3得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化简得2c2+c=0，c≠0，
    ∴c=-

1

2

    反之，令 c=-

1

2

，即得bn=2n，显然数列{bn}为等差数列，
    ∴当且仅当 c=-

1

2

时，数列{bn}为等差数列．（9分）
    （3）cn=

8

(an+7)?bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

    f（n）=Tn?（an+3-

8

bn

）?0.9n=

n

n+1

?(4n-

4

n

)??0.9n=4（n-1）?0.9n（11分）
    ∵f（n+1）-f（n）=4?0.9n[0.9n-（n-1）]=4?0.9n[1-0.1n]n∈N+
    ∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
    f（n）max=f（10）=f（11），（13分）
    ∴存在n0=10或11，使f（n）≤f（n0）对一切n∈N*都成立．（14分）