题型： 解答题 难度： 一般
    设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
    （1）求f（0）；
    （2）证明f（x）是奇函数；
    （3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
    （4）解不等式

1

2

f(x2)-f(x)＞

1

2

f(3x)．
    答案
    证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
    得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
    ∴f（x）+f（-x）=f（0）．
    又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
    （2）从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
    ∴f（x）是奇函数．
    （3）任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
    则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．
    由x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．
    ∴-f（x2-x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），
    从而f（x）在R上是减函数．
    由于f（x）在R上是减函数，
    故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
    最小值为f（3）．由f（1）=-2，
    得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
    =f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
    =3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
    ∴最大值为6，最小值为-6．
    （4）由

1

2

f(x2)-f(x)＞

1

2

f(3x)，f
    （x2）-f（3x）＞2f（x），
    由已知得：f[2（x）]=2f（x）∴f（x2-3x）＞f（2x），
    由（2）中的单调性转化为x2-3x＜2x．即x2-5x＜0，
    ∴x∈（0，5）．
    

Q：这道题的题型和难度如何？
A：题型是解答题，难度一般。
Q：已知函数\(f(x)\)满足什么条件？
A：对于任意\(x,y\in R\)，都有\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，且\(x\gt0\)时\(f(x)\lt0\)，\(f(1)= -2\)。
Q：如何求\(f(0)\)？
A：由\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，令\(x=y=0\)，得\(f(0 + 0)=f(0)+f(0)\)，所以\(f(0)=0\)。
Q：怎样证明\(f(x)\)是奇函数？
A：由\(f(x + y)=f(x)+f(y)\)，令\(y=-x\)，得\(f(x)+f(-x)=f(0)=0\)，即\(f(-x)= -f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数。
Q：如何判断\(f(x)\)的单调性？
A：任取\(x_1、x_2\in R\)，且\(x_1\lt x_2\)，则\(f(x_1)-f(x_2)= -f(x_2 - x_1)\)。因为\(x_2 - x_1\gt0\)，\(f(x_2 - x_1)\lt0\)，所以\(-f(x_2 - x_1)\gt0\)，即\(f(x_1)\gt f(x_2)\)，所以\(f(x)\)在\(R\)上是减函数。
Q：在\(x\in[-3,3]\)时\(f(x)\)的最大、最小值分别是多少？
A：\(f(x)\)在\(R\)上是减函数，所以在\([-3,3]\)上最大值是\(f(-3)=6\)，最小值是\(f(3)= -6\)。
Q：\(f(3)\)的值是如何计算的？
A：\(f(3)=f(1 + 2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1 + 1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)= -6\)。
Q：\(f(-3)\)的值是如何得到的？
A：因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-3)= -f(3)=6\)。
Q：不等式\(\frac{1}{2}f(x^2)-f(x)\gt\frac{1}{2}f(3x)\)如何求解？
A：先将不等式变形为\(f(x^2)-f(3x)\gt2f(x)\)，由已知\(f[2(x)] = 2f(x)\)，所以\(f(x^2 - 3x)\gt f(2x)\)。因为\(f(x)\)是减函数，所以\(x^2 - 3x\lt2x\)，即\(x^2 - 5x\lt0\)，解得\(x\in(0,5)\)。
Q：这道题主要考查了函数的哪些性质？
A：主要考查了函数的赋值法求函数值、奇函数的证明、单调性的判断以及利用单调性解不等式等性质。