题型： 解答题 难度： 一般
    设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）?f（y）．
    （1）证明：f（0）=1；
    （2）证明：f（x）在R上是增函数；
    （3）设集合A={（x，y）|f（x2）?f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围．
    答案
    （1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）?f（1），即f（1）=f（0）?f（1）
    ∵f（1）＞1
    ∴f（0）=1
    （2）证明：∵对x1，x2∈R，x1＜x2，，有x2-x1＞0
    ∴f（x2）=f（x1+x2-x1）=f（x1）?f（x2-x1）中有f（x2-x1）＞1
    由已知可，得当x1＞0时，f（x1）＞1＞0
    当x1=0时，f（x1）=1＞0
    当x1＜0时，f（x1）?f（-x1）=f（x1-x1）=f（0）=1
    又∵f（-x1）＞1∴0＜f（x1）＜1
    故对于一切x1∈R，有f（x1）＞0
    ∴f（x2）=f（x1）?f（x2-x1）＞f（x1），故命题得证．
    （3）解由f（x2+y2）＜f（1），则由单调性知x2+y2＜1．
    由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
    若A∩B=φ，则只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故

|c|

2

≥1．
    ∴c≥

2

或c≤-

2