题型： 解答题 难度： 一般
    已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
    （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式
    （Ⅱ）求数列{

1

bnbn+1

}前n项和为Tn．
    答案
    （Ⅰ）∵f（1）=

1

3

，故a=

1

3

，
    ∴f（x）=(

1

3

)x，
    ∵a1=f（1）-c=

1

3

-c，a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

，
    又数列{an}为等比数列，a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
    ∴c=1，又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
    ∴an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n，n∈N*；
    ∵Sn-Sn-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
    又bn＞0，

Sn

＞0，
    ∴

Sn

-

Sn-1

=1；
    ∴数列{

Sn

}构成一个首相为1公差为1的等差数列，
    ∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，于是Sn=n2；
    当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1；
    ∴bn=2n-1，n∈N*；
    （Ⅱ）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
    ∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

    =

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+（

1

7

-

1

9

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
    =

1

2

（1-

1

2n+1

）
    =

n

2n+1

．