今天我们来一起看一下平面向量高阶技巧等和线问题的第二类模型，就是AX加BY型。那么在之前的视频中啊，我们讲的第一类也就是所谓的X加Y型。那如果是这样的问题，我们该如何处理呢？我们首先要把基底的中点连线构成一倍线，过起点做一倍线的平行线记为零倍线，然后等间距的做出二倍线、三倍线和4倍线。那此时这个点P落在几倍线上，那么系数和就是几，这是X加Y型。那如果说现在是AX加BY型，我们来看这样一个例子，此时啊还是OP向量等于X倍的OA向量加上Y倍的OB向量，但是不让我们求解X加Y了让我们求解的是2X加3Y该怎么样？那首先很明显，如果结合这个式子，你发现此时OA向量和OB向量的系数是X和Y而你让我求解的是2X加3Y那该怎么处理呢？我能不能想办法让2X和3Y分别做成OA向量和OB向量的系数呢？那如果你想满足让系数是2X和3Y还得满足这个式子和原式是等价的那该怎么办？此时如果这是2X还想满足这个地方出现了X乘以OA向量，那此时这就应该怎么样变成二分之OA向量？因为只有2X乘以二分之OA向量才能出现X乘以OA向量，对吗？同理如果后面想出现3Y这个系数，那么满足最后出现Y倍的OB向量。为了满足这个AB向量时，这块儿应该变成啥？应该变成三分之OB向量。因为此时3Y乘以三分之OB向量乘积才是Y倍的OB向量。那所以你会发现此时作为基底是谁呀？还是OA和OB吗？不是了，而是二分之OA和三分之OB那么此时我们令OA撇向量等于2分之1倍的OA向量，令OB撇向量等于3分之1倍的OB向量。那么此时很明显，OA撇等于2分之1OA，OB撇呢等于3分之1OB所以此时我们要把A撇和B撇找到，那么A撇就应该是OA的中点，B撇就应该是OB的三等分点。那么此时的基底是谁呀？注意此时的基底就是OA撇向量和OB撇向量了。那么我们要把这两个基底的终点连线即为一位线，过起点做一位线的平行线即为00线。所以这种问题啊是这么来处理的。我们来看这样一个案例，这个案例呢是14年江苏卷的第十题，题目说的是点P是三角形内任意一点。注意哦点P是动点，并且要求是在三角形内部来运动。注意但凡遇到动点问题，我们务必要搞清楚它的运动轨迹。那此时点P只能在三角形ABC内部运动，不能在三角形ABC上面运动。OK那么说满足向量AP等于X倍的AB向量加上Y倍的AC向量，则Y加2X的取值范围是什么？这个题如果是X加Y那直接利用等和线的第一个模型就能解决。但是现在它是Y加2X所以很明显它满足我们今天所讲的第二类模型，就是AX加BY型。那这种题该怎么来处理呢？首先我如果想把系数转变为Y和2X那么此时的基底就要做调整，对吗？Y这边不用调，因为Y乘以AB向量就保留它本身就可以了。但是如果你想把系数转变为2X那么此时原来的这个AB向量就应该变成2分之1倍的AB向量。那么只有2X乘以2分之1倍的AB向量乘积才是满足原题干中的X乘以AB向量，对不对？所以这道题目的基底是谁？是2分之1倍的AB向量和AC向量。好，我们把AB的中点记为B撇点，那么此时的两个基点向量就应该是AC向量和AB撇向量。那么我们做一位线就应该把C点和B撇点两点连线即为一倍线，然后过起点做一倍线的平行线即为零倍线。那么此时我们说了点P落在几倍线上,这个系数和Y加2X就是几对不对。好，那么如果说过点B做一倍线的平行线就应该是二倍线，对吧？那你来看啊，此时点P是在三角形内部来运动的，对不对？那如果说点P运动的位置和点P非常接近，此时系数和是不是几乎等于2？但能娶到2吗？取不到，为什么？因为点P不能落在三角形ABC上，所以二这边得是开区间，不能是闭区间。那么最小值的点P能不能落在零倍线上？可以对吧？它可以和点A几乎重合，但是能是点A吗？不能。同理，因为点P不能在三角形ABC上了，所以这个题的答案就应该是0到2开区间。因此大家要注意这个题目其实选项可以设计的再变态一点，就是设计一个0到2闭区间。又会有一些孩子做错。同学你听懂了吗？我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上大分儿。
平面向量AX加BY型解题攻略：掌握基底调整与系数转化技巧

在平面向量的学习中，等和线问题是一个重要的知识点。其中第二类模型AX加BY型，对于很多同学来说可能会有些难度。今天，我们就来详细探讨一下如何解决这类问题。

首先，我们要理解基底的概念。基底是平面向量中的一组基本向量，通过它们可以表示其他向量。在AX加BY型问题中，我们需要根据给定的条件，对基底进行调整。

例如，当我们要求解2X加3Y时，就需要想办法让2X和3Y分别成为基底向量的系数。这就需要对原来的基底进行变换。具体来说，如果想让系数出现2X，那么原来的向量就应该变成二分之该向量；同理，如果想出现3Y，那么原来的向量就应该变成三分之该向量。

接下来，我们通过一个实际例子来进一步说明。假设向量OP等于X倍的OA向量加上Y倍的OB向量，现在要求解2X加3Y。我们可以将OA向量变为二分之OA向量，OB向量变为三分之OB向量，这样就得到了新的基底OA撇向量和OB撇向量。

然后，我们根据等和线的原理，找到新基底的终点连线作为一倍线，过起点做一倍线的平行线作为零倍线。通过观察点P落在几倍线上，就可以确定系数和2X加3Y的值。

在解决这类问题时，还需要注意一些细节。比如，要搞清楚动点的运动轨迹，以及系数和的取值范围。在实际做题中，要仔细分析题目条件，灵活运用基底调整和系数转化的方法。

总之，掌握平面向量AX加BY型问题的解题方法，关键在于理解基底调整和系数转化的技巧。通过不断练习和总结，相信大家一定能够熟练掌握，轻松应对这类问题。
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[Q]：平面向量等和线问题的第二类模型是什么？
[A]：是AX加BY型。
[Q]：AX加BY型与X加Y型有什么不同？
[A]：AX加BY型求解的是2X加3Y这种形式，处理时基底需调整。
[Q]：AX加BY型中如何调整基底？
[A]：若想出现2X，原向量变为二分之该向量；若想出现3Y，原向量变为三分之该向量。
[Q]：怎样确定AX加BY型问题的基底？
[A]：根据求解的系数对原基底向量进行变换得到新基底。
[Q]：等和线问题中一倍线和零倍线怎么确定？
[A]：把调整后的基底终点连线为一倍线，过起点做其平行线为零倍线。
[Q]：动点问题在这类题目中有什么影响？
[A]：要搞清楚动点运动轨迹，像点P在三角形内运动有范围限制。
[Q]：求解Y加2X的取值范围时要注意什么？
[A]：注意点P不能落在三角形边界上，取值范围是开区间。
[Q]：如何利用等和线解决AX加BY型问题？
[A]：通过调整基底确定等和线，看点P所在位置确定系数和。