今天这道题啊难倒了很多只追求秒杀不重视基础的孩子。

我们来看这道题，题目说的是如图，在半径为一的扇形中，注意啊半径是一对吧？OA是一，OB是一，OB也是一角。AOB是3分之2派，120度，P是AB弧上一点，满足OP垂直OB那好了，整个120这块垂直，这就是30 66分之派嘛，对吧？M和N是两个动点，注意啊两动点分别在OA和OB上动，让我们求PM向量和PN向量的数量积。

好，先把这俩向量表达出来对吧？读完题之后很多孩子一看，唉，这不共起点向量数量积吗？想什么极化恒等式对吧？把它转变为中线坊减半底方完事儿了，觉得很快很爽。

我们来一起看一下，如果此时我们使用极化方程式，那得把MN连上，对不对？此时就转变为了什么？PK的平方减去KM的平方。但是老铁你要注意这个题，M和N都是动点。那你来告诉我，随着M和N的同时运动，你这么转换之后，PK的长度和KM的长度有定值吗？没有吧，这俩是不是也在变呀？那我们说了极化和等式的核心是什么？把双变量甚至多变量转变为单变量问题来解决最值你这俩货还都是变量有什么意义呢？没有意义。

所以这道题你只看到共起点的数量积，想到极化和等式是处理不了的。唉，所以这种很多孩子只学秒杀就学学猛了，到这儿就不会了。

那这个题该怎么来处理呢？它使用的是向量的拆分技巧。我们来看一下，首先呢这个题的半径是一嘛，对吧？所以OP的长度是等于1的，这个没有任何问题。其次我刚才已经说了，整个这个角120，这个角90，这个角30度，对吧？那你来看让我求的是PM和PN的向量的数量积，我们能不能把这两个向量用一些我们已知的向量来表达，我们已知是谁？大哥我们知道ONOP和OM的夹角，所以我可不可以用ON、OP、OM向量来表达这俩向量呢？所以这就用到了向量的拆分技巧，对吧？PM向量可以利用叉字母的形式对吧？把它转变为PO向量加上OM向量，PN向量可以转变为PO向量加ON向量对吧？

那此时乘开吧，它和它乘它和它乘它和它乘它和它和它乘，唉，直接乘开，乘开之后注意关注这个细节。首先这是四项对吧？那这四项怎么化解？我们说了向量的平方等于向量模长平方对吧？所以PO向量的平方就是PO向量模长平方的模长是几？模长是一，所以第一项就是一的平方，没错吧？然后注意重点是这一项，这一项很多孩子会搞错它是啥。OM向量和PO向量很多孩子一看哎OM向量IPU向量夹角六分之派，所以数量积转变为OM模长乘以PO模长再乘以cosine 6分之派，大错特错，这就是基础知识的问题。我们说向量夹角什么意思？你要把两个向量平移至共起点的位置即为向量夹角。现在人说哪两个向量？一个是OM一个是PO啊，老大对吧？你这个是谁的角？是OM向量和OP向量夹角啊，对不对？所以PU是谁？PU是往这儿指的，OM是往这儿指的，所以夹角是哪个角？你把它往下平移，夹角是这个角，对吧？也就是六分之派的补角是6分之5派，这是个易错点。所以一定要记住了，向量的夹角是要把两个向量平移至共起点的时候再来观察，这个很重要好吧？

所以呢我给大家写啊，那么第一项是一方，第二项呢就是OM的模长乘以OP模长。OP模长是一嘛，就省略了然后1666分之5派的余弦值。然后这一项注意OP和ON是垂直的，那么此时的余弦值是零，所以也省略了也没有了对吧？那最后一项正常展开就可以了对吧？哎，OM向量的模长乘以OA向量模长，再乘以cosine 三分之2派好了，那么再往下该怎么办？注意我们把该化简的化简，六分之派的优先值负的二分之根号3，3分之2派的优先值-2分之1好了。那人说让我求啥呀？求最大值对不对？那你来告诉我这一项一定是非负的对吧？这一项也一定是非负的对吧？所以一个非负的和一个负的相乘，整体怎么样小于等于0？一个非负的和一个负的相乘，整体怎么样小于等于0？所以这俩都是妥妥妥的这俩都是小等于0的数，对吧？那你一加上一个小于等于0的数，我们想求最大值是几呀？是不是就是让它俩都是零时就是最大值。也就是说白了让OM的模长为零点M和点O重合时，最大值是一。所以选择C选项这个题目轻松解决。

所以总结一下，注意大家在看到共起点的现在数量积时，不要盲目的只会想到绝法方程式，这只是一个表象的特征。你要明白极化恒等式的核心是把双变量甚至多变量转变为单变量。这道题你即使使用交换恒等式，它并没有缩减变量的个数。那你用交换恒等式就没有意义，能理解吧？就只能用向量拆分的技巧。我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上打分。
在数学学习中，共起点向量数量积是一个重要知识点。当遇到此类问题时，很多同学会想到极化恒等式，但有些题目并不适用。比如，在某些情况下，使用极化恒等式无法缩减变量个数，导致无法求解最值。这时，向量拆分技巧就显得尤为重要。通过合理拆分向量，利用已知向量的夹角和模长等信息，我们可以更有效地解决问题。在解题过程中，要特别注意向量夹角的确定，这是一个容易出错的点。只有准确把握向量夹角，才能正确计算数量积。总之，掌握向量拆分技巧，并注意易错点，能帮助我们更好地解决共起点向量数量积问题，提升数学解题能力。
共起点向量数量积,极化恒等式,向量拆分技巧,易错点
[Q]：极化恒等式在解决共起点向量数量积问题时为何有时不适用？
[A]：当双变量或多变量无法通过极化恒等式转变为单变量时，就没有意义，无法解决最值问题。
[Q]：向量夹角该如何确定？
[A]：要把两个向量平移至共起点的位置再来观察。
[Q]：这道题中OM向量和PO向量夹角是多少？
[A]：是六分之派的补角，即6分之5派。
[Q]：使用向量拆分技巧时，PM向量如何表达？
[A]：PM向量可以转变为PO向量加上OM向量。
[Q]：PN向量又如何表达？
[A]：PN向量可以转变为PO向量加ON向量。
[Q]：PO向量的平方是多少？
[A]：PO向量模长是1，所以PO向量的平方是1的平方，即1。
[Q]：这道题求最大值时是怎么考虑的？
[A]：让非负项与负项相乘的结果为0时就是最大值，即让OM的模长为0，M和点O重合时。
[Q]：看到共起点向量数量积问题应避免什么？
[A]：不要盲目只想到极化恒等式，要明白其核心是缩减变量个数。