就这个八省联考的第十题简直就离谱。很多同学都后台私信大鹏老师说这个题啊都扣分了，非让我讲一下这个题。其实这个题所考察的内容啊，在我们系统课里面都有所讲解。无非就是四号D选项计算量会稍微大一些，其他的真的没什么了。我们一起看一下这个题目啊。首先这个题它前两行不用看，这给我们交代的一个背景，我们直接从第三行开始读取就可以了。说定义一个双曲正弦函数，sine HX等于2分之1倍的E的X幂减去E的负X幂，双曲余弦函数cosine HX呢等于2分之1倍的E的X幂加上E的负X幂。双曲正切函数无非就是双曲正弦比上双曲余弦，那这其实也是一个新定义问题。我们先关注AB选项，AB选项分别让我们来判断双曲正弦和双曲余弦的单调性。那你想你既然要判断单调性，你肯定要从解析式来入手，对吧？那这两个解解析式你看起来不眼熟吗？我们在讲函数奇偶性的时候，我们在课程里面强调过神奇奇函数和神奇函数。什么叫神奇奇函数？神奇偶函数就是有一些函数在高考中经常会考察它们的奇偶性，而且用定义法来判断的时候有些浪费时间。所以我们建议大家把这些函数啊直接记住。那么其中FX等于E的X幂减去E的负X幂，这就是一个奇函数。而FX等于E的X幂加上E的负X幂，这就是一个偶函数。它俩是联系记忆的，是哥俩，减号连接就是奇函数，加号连接就是偶函数，就这么简单。而且我们在课里面还强调过这两个货呀，你不仅要记住奇偶性，你最好把图像的大致趋势也记住。这两个图我们在课题也都画过，对吧？我们还说过说这个FX等于E的X幂加上E的负X幂，它的图像啊和Y等于X方加二的图像非常类似，对吧？那你看此时这个部分不就是这个双曲正弦函数的分子吗？这个部分不就是双曲正切函数的分子吗？对不对？那对于这两个函数而言，我们如果前面成了一个正系数会改变单调性吗？不改变，所以这个是增，那这个也是增A选项直接正确，这个在整体来看是没有单调性的，对不对？这段儿这一段增嘛，整体来看没有单调性，所以你能说它是增函数吗？这个也不能说。那因此AB两个选项直接就处理完了。我们来看C选项，C选项判断的是什么？双曲正切函数是增函数。那首先我们一样，你要先把双曲正切函数的表达式写出来，对吧？所以化简完双曲正切长这样，其实这个函数也是我们强调过的一个神级奇函数。为什么看这个分子？分子是刚刚讲过的奇函数，分母是刚刚讲过的偶函数。根据奇偶性的思维运算奇比偶还是啥还是奇，所以这个货呀本身也是奇函数。但是现在我们不是判断奇偶性，我判断单调性对吧？那这个代价该怎么判断？我们此时要用的方法就是分离常数，你在分子上加一个E的负X幂，再减去一个E的负X幂，那整个分子为了满足等价再加个E的负X幂，那你后面就得减去二倍的E的负X幂，对不对？然后这块儿化简完就是一，所以整体处理完就是一减去E的X幂，加上E的负X幂，分之二倍的E的负X幂。再往下我们对于这个分式而言，分子分母中的每一项，我们此时同乘E的X幂，那么你看这个货如果乘以E的X幂，我们都知道指数同底指数相乘，底数变指数相加，对吧？所以那就变成了E的负X加X幂就是E的零次幂，那就是一。所以分母也同样化简化简完成这个式子了。那么此时对于这个式子我们就更好的来判断单调性了。那么首先我们知道X如果再增加的时候，那么E的2X次幂加一，这个整体是变大的对吧？那你这个地方整体变大，那它如果做分母呢，所以这个分式而言整体就变小。那你如果一减去这个数，这个数整体变小，那你最后这个数怎么样就变大，对不对？所以你看X变大时整体变大，那就是X跟函数值的变化趋势同步，X大Y大，X小Y小，那因此它是单调递增的，没有任何问题，C选项也是正确的。最后我们来看一下这个四号D选项。这个四号D选项啊确实计算量稍微大了一些，但是真的不难。因为这个四号D选项呢它所考察的是三角恒等变换中非常经典的题型，就是证明恒等式。哎，我们要证明这个式子是恒等的那这种题目的处理呢有很多种方法，一种由一侧换点到1侧，另外一种两侧同时化简。因为刚才啊我们已经把双曲正切函数的解释写完了，对吧？哎，在这写完了。所以此时呢呢对于定的HXXYY而言，我们只需要把X加Y这个整体代入就可以了。所以左侧是很好化简的。那么再往下呢我们来看一下右侧，右侧这个部分呢你整体需要先把每一个双曲正切函数用双曲正弦比双曲余弦来进行化简。那么到这步之后，再往下干嘛？我们分子分母的每一项同时乘以cosine HX乘以cosine HY哎，同乘这个同乘这个之后呢，你看整个这个分子母我们就化简完了。再往下我们只需要带入题干中给我们的这个新定义的双曲正弦函式跟双曲余弦公式就可以了。化简完你发现左右两侧正好相等，那么因此四号D也是正确的。这个题应该选择的是ACD所以你看这就是八省联考的第十题。除了四号D选项计算量稍微大了一些之外，前三个选项真的不难。我是让数学思路变得更清晰的大鹏老师，关注我带你数学上大分儿。
**《八省联考数学题攻略：双曲函数深度解析》**

在八省联考中，数学题常常让同学们感到头疼。就拿其中的第十题来说，很多同学都在这道题上栽了跟头。这道题主要围绕双曲函数展开，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

对于双曲正弦函数sine HX等于2分之1倍的E的X幂减去E的负X幂，以及双曲余弦函数cosine HX等于2分之1倍的E的X幂加上E的负X幂，我们要熟悉它们的性质。比如在判断单调性时，从解析式入手是关键。像我们在课程里强调的神奇奇函数和神奇函数，像FX等于E的X幂减去E的负X幂是奇函数，FX等于E的X幂加上E的负X幂是偶函数，记住它们的奇偶性和图像趋势，对解题很有帮助。

双曲正切函数是双曲正弦比上双曲余弦，判断它的单调性需要一些技巧。通过分离常数等方法，可以清晰地判断出它的单调性变化。

而四号D选项虽然计算量稍大，但考察的是三角恒等变换中证明恒等式的经典题型。只要掌握好从一侧换点到另一侧，或者两侧同时化简的方法，再结合双曲正弦函式跟双曲余弦公式，就能顺利解题。

总之，掌握这些双曲函数的知识要点，多做练习，遇到类似题目就能轻松应对，在考试中取得好成绩。
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[Q]：什么是双曲正弦函数？
[A]：双曲正弦函数sine HX等于2分之1倍的E的X幂减去E的负X幂。
[Q]：双曲余弦函数的表达式是什么？
[A]：双曲余弦函数cosine HX等于2分之1倍的E的X幂加上E的负X幂。
[Q]：如何判断双曲正弦函数的单调性？
[A]：从解析式入手，结合函数奇偶性相关知识判断，前面乘正系数不改变单调性。
[Q]：双曲正切函数是奇函数吗？
[A]：是，其分子是奇函数，分母是偶函数，奇比偶为奇。
[Q]：怎样判断双曲正切函数的单调性？
[A]：用分离常数法，通过分析分子分母与X变化关系判断。
[Q]：四号D选项考察的是什么题型？
[A]：考察三角恒等变换中证明恒等式的题型。
[Q]：证明恒等式有哪些方法？
[A]：一种是由一侧换点到另一侧，另一种是两侧同时化简。
[Q]：做这道题有什么技巧？
[A]：熟悉双曲函数性质，掌握判断单调性和证明恒等式的方法，多练习。