今天我们来一起看一下2025年苏州临摹的单选第六题。已知函数FX等于E的X方减去A倍的X减1，该函数有2个零点，则实数A的取值范围应该选择哪一个？这道题的关键所在就是对于已知条件的等价转化。函数要满足有2个零点，零点即FX等于0所对应的X的取值。所以第一步转化直接等价转换为E的X方减去A倍的X减1等于0，有两个不等实根即可。再往下转化出现分叉。第一种想法，把左边令成一个新函数，构造函数，通过研究新函数图像分布，使其满足等于0时有两个不等实根。另一种思路更直观，将方程部分整体挪到等号右侧，转化为E的X方等于A倍的X减1，左边看成一个新函数，右边看成另一个新函数。右边是Y等于E的X方，右边是含参的一次函数，其图像是一条动直线。高中阶段接触的动直线无非两种，一种斜率确定，截距不定，上下平移变换；另一种过定点。此直线当X取1时，无论A取何值，函数值一定为零，所以直线过定点(1,0)。接着要绘制两个函数图像，满足两个图像有两个交点，临界位置是切线，过(1,0)做Y等于E的X方的切线，设切点为(X0,E的X0次幂)，切线斜率K等于Y导，即K等于E的X0次幂。利用点斜式表达切线方程，(1,0)点也在切线方程上，代入可得负的E的X0次幂等于E的X0次幂乘以(1 - X0)，这是个超越方程，直接看解可得X0等于2，此时切线斜率为E的平方。只要动直线斜率A大于E的平方时都有两个交点，函数有2个零点，题目应选择四号D选项。
**《突破函数零点问题攻略》**

在数学学习中，函数零点问题常常让人头疼。就像2025年苏州临摹的单选第六题，已知函数FX等于E的X方减去A倍的X减1，判断其有2个零点时实数A的取值范围。这类型题关键在于对已知条件的等价转化。

首先，要理解零点概念，它就是FX等于0时X的取值。所以第一步将函数转化为E的X方减去A倍的X减1等于0有两个不等实根。

之后的转化有两种思路。一种是构造新函数，研究其图像分布来求解，但相对复杂。另一种更直观，把方程变形为E的X方等于A倍的X减1，这样就得到两个新函数。右边的Y等于E的X方图像固定，左边是含参一次函数，其图像是动直线。

高中常见动直线有两种，这里的直线过定点(1,0)。要让两个函数图像有两个交点，临界情况是切线。通过设切点(X0,E的X0次幂)，利用斜率和点斜式得到切线方程，再代入定点求解超越方程，得出X0等于2，进而得到切线斜率为E的平方。

所以，当动直线斜率A大于E的平方时，函数就有2个零点。掌握这种解题思路，遇到类似函数零点问题就能轻松应对啦。多做几道相关练习题，加深理解，以后再碰到就不怕啦。
苏州临摹题,函数零点,等价转化,动直线,切线方程,超越方程
[Q]：这道题的关键解题步骤是什么？
[A]：关键在于对已知条件进行等价转化，将函数有2个零点转化为方程有两个不等实根，再通过构造函数或分离变量等方法进一步求解。
[Q]：如何把函数零点问题转化为方程根的问题？
[A]：函数的零点就是函数值为0时对应的自变量的值，所以令函数等于0，得到的方程的根就是函数的零点，本题中就是把函数FX等于E的X方减去A倍的X减1等于0，转化为方程有两个不等实根的问题。
[Q]：构造函数的思路在本题中是怎样应用的？
[A]：把方程E的X方减去A倍的X减1等于0左边令成一个新函数，通过研究这个新函数图像的分布，使其满足等于0时有两个不等实根来求解。
[Q]：分离变量的思路在本题中是如何体现的？
[A]：将方程E的X方减去A倍的X减1等于0变形为E的X方等于A倍的X减1，把左右两边分别看成新函数，通过研究这两个函数图像的交点情况来求解。
[Q]：动直线的两种情况在本题中如何对应？
[A]：本题中的动直线是含参的一次函数，属于斜率确定，截距不定，上下平移变换的情况，它过定点(1,0)。
[Q]：为什么要过定点做切线来求解？
[A]：要使两个函数图像有两个交点，临界位置是切线，通过求出切线斜率等信息来确定实数A的取值范围。
[Q]：超越方程是怎么求解的？
[A]：本题中通过设切点，利用斜率和点斜式得到切线方程，再代入定点得到超越方程，直接看解得出X0等于2。
[Q]：如何确定实数A的取值范围？
[A]：求出过定点(1,0)做Y等于E的X方的切线斜率为E的平方，当动直线斜率A大于E的平方时，函数就有2个零点，从而确定A的取值范围。