题型： 解答题 难度： 简单
    已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*有an+Sn=n.
    （1）设bn=an-1,求证：数列{bn}是等比数列；
    （2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n≥2)，求{cn}的通项公式.
    答案
    （1）证明见解析（2）cn= ()n
    解析
    （1）证明?由a1+S1=1及a1=S1得a1=.
    又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得
    an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.
    ∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.
    ∴数列{bn}是以b1=a1-1=-为首项，
    为公比的等比数列.??????????????????????????????????????????? 6分
    （2）解?方法一?由（1）知2an+1=an+1.
    ∴2an=an-1+1 (n≥2),?????????????????????????????????????????????? 8分
    ∴2an+1-2an=an-an-1,
    ∴2cn+1=cn (n≥2).
    又c1=a1=,a2+a1+a2=2,∴a2=.
    ∴c2=-=,即c2=c1.
    ∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列.??????????????????????? 12分
    ∴cn=・()n-1=()n.?????????????????????????????????????? 14分
    方法二?由（1）bn=(-)・()n-1=-()n.
    ∴an=-()n+1.
    ∴cn=-()+1-
    =-=
    =（n≥2）.??????????????????????????????????????12分
    又c1=a1=也适合上式，∴cn=.???????????????????????????? 14分