今天给各位老铁分享一个立体几何中的高阶思想。这个思想如果你能真正理解透彻，那么在处理立体几何证明问题，尤其是跟平行相关的证明问题时，可以说是非常简单了。Nice. 我们要知道在处理立体几何证明平时，我们往往有什么问题就是看答案都能看懂，但是让我自己做我却找不到思路，对不对？那么今天这个技巧，这个思想就是帮我们来找寻这个思路的，很重要。首先我们要知道啊，我们在绘制立体图形的直观图时用的方法是什么？斜二侧画法对不对？那么斜二侧画法有三个要求。第一个要求就是X轴和Y轴的夹角是45度，Z轴和X和Y垂直，这是第一个。第二个是平行于X和Z轴的线段的长度，在直观图中保持不变，但是平行于Y轴的线段长度要变为原来的一半，唉，这是第二点。第三点最关键了，我们说在第三点中原图形中，平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴说明什么？说明平行关系是不改变的这一条很重要。那这条说明什么呢？注意说明在直观图中线线平行可以用肉眼来观察出来。这就给我们提供的思路，我们用高考真题来证明一下。首先呢我们来看一下2024年全国甲卷第19题，这个题让我们就不读了，我们直接看问题。问题是第一问让我们证明BM这个直线和平面CDE平行，要满足线面平行。那我们来思考一下，如果想证明线面平行和心形是什么？找线线平行对不对？要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行就可以了。那你拿肉眼来观察，我们如果说在不做辅助线的情况下，BM和CDE这个平面里面哪条线看起来平行，是不是和CD看起来平行啊？所以你看这个题的答案是不是就是证明BM和CD平行，对吧？证明他了就证明线面平行了。所以你看这就给我们提供了思路。我们再来看这个2024年新高考一卷第十七题也是一样。我们直接看问题，问题说什么证明直线AB和平面PBC平行，这条直线和这个面平行。同样我们还是找什么找线线平行。平面外的这条直线AB和平面内的某一条直线平行，则线面平行。那你看如果不做辅助线，它跟哪条线看起来平行，是不是和BC啊？所以这个题核心就是找什么证明AD和BC平行。如果你能够证明AD和BC平行了，答案就出来了。发现了吗？好，我们再来看一个，来这个2024年北京卷第十七题，同样我们还是看问题，问题说的是什么证明BF和平面PCD平行，BF是这个线，PCD是这个面儿。那如果说此时不做辅助线，我发现BFF和这个和所谓的边界PCDDCCD看起来都不平行，那怎么办？往终点向往中位线上，因因为此时注意在这里面，如果我们PE和PED的中点即为F点和G点，我们是不是可以证明出什么BF和CD平行。所以你看这个平行关系它还是没有改变的，还是一样的，对不对？在直观图中还是平行的OK好，来再看一个例子，2024年天津卷第十七题，这题让我们证明什么DEN和平面BECM平行，和这个面平行，我们是不是还是要证明什么DEN和PM平行，所以你看这个线线平行，它是不是还是保持不变的你在直观图里面看是不是还是平行的，对不对？所以注意在立体几何中，尤其是证明平行问题时，平行关系是不改变的。我们可以用肉眼来观察出来，那这是给我们做证明题时提供思路的。但是强调一点，垂直是没有办法用肉眼观察的。因为我们刚才说了，在利用斜2测画法绘制直观图时，我们此时X轴和Y轴的夹角不是90度了，是45度了。所以夹角发生改变，那么垂直关系就会发生改变，你拿肉眼是看不出来的。我是让数学思路变得更加清晰的大鹏老师，关注我，带你数学上大分儿。
在立体几何的学习中，掌握斜二侧画法对于解决平行证明问题至关重要。斜二侧画法有三个关键要求：X轴与Y轴夹角为45度，Z轴与X、Y轴垂直；平行于X和Z轴的线段长度在直观图中不变，平行于Y轴的线段长度减半；原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，这表明平行关系不变，可通过肉眼观察直观图中线线平行来辅助证明。利用高考真题为例，如2024年全国甲卷第19题，证明BM直线与平面CDE平行，若不做辅助线，观察发现BM与CD看起来平行，证明二者平行即可证线面平行。再如2024年新高考一卷第十七题，证明直线AB与平面PBC平行，不做辅助线时AB与BC看起来平行，核心是证明AD与BC平行。2024年北京卷第十七题，证明BF与平面PCD平行，不做辅助线时BF与相关边界不平行，借助中位线可证明BF与CD平行。2024年天津卷第十七题，证明DEN与平面BECM平行，要证明DEN与PM平行。总之，在立体几何证明平行问题时，平行关系不变，可利用直观图辅助，垂直关系则不能用肉眼观察。掌握这些技巧，能让你在立体几何证明题中更得心应手，轻松拿分。