# 试卷整体概述
2024 - 2025学年重庆市八中高三上学期适应性月考卷（一）数学试题，是一份具有重要意义的阶段性检测试卷。本次考试性质为诊断性测试，目的在于全面了解高三学生现阶段对数学知识的掌握程度，为后续复习备考提供精准方向。

对于高三学生而言，此次月考意义重大。它不仅是对过去一段时间复习成果的检验，更是一次发现问题、调整策略的契机。通过考试，学生能清晰认识到自己在各个知识板块的优势与不足，从而有针对性地进行强化训练。

该试卷结构合理，共分为选择题、填空题和解答题三大部分。选择题有12道，主要考查集合、函数、数列、三角函数等基础知识，涵盖面广且注重对概念的理解。填空题有4道，着重考查一些中等难度的知识点，如立体几何中的简单计算、圆锥曲线的基本性质等。解答题有6道，题型分布较为全面，包括数列题、三角函数题、立体几何题、概率统计题、解析几何题以及导数综合题。数列题常与递推关系、通项公式、求和公式相结合；三角函数题多涉及图像变换、性质应用等；立体几何题注重空间线面关系的证明与计算；概率统计题考查数据处理与概率计算；解析几何题围绕圆锥曲线的方程与性质展开；导数综合题则综合考查函数单调性、极值、最值等问题。

这种题型分布符合高考数学的命题趋势，能全面考查学生的数学思维能力、运算求解能力、空间想象能力以及逻辑推理能力。学生在备考过程中，应熟悉各类题型的特点与解题方法，通过不断练习，提高解题速度和准确率，为高考数学取得优异成绩奠定坚实基础。

# 试题详细解析
## 一、选择题
### 1. 考点：集合的基本运算
本题主要考查集合的交集运算。交集是指两个集合中共同的元素所组成的集合。
解题思路：先分别明确集合\(A\)和集合\(B\)中的元素，再找出它们的公共元素。
已知集合\(A = \{x|x^2 - 2x - 3 \leq 0\}\)，解不等式\(x^2 - 2x - 3 \leq 0\)，即\((x - 3)(x + 1) \leq 0\)，可得\(-1 \leq x \leq 3\)，所以\(A = \{x|-1 \leq x \leq 3\}\)。
集合\(B = \{x|y = \ln(2 - x)\}\)，对数函数中真数须大于\(0\)，即\(2 - x > 0\)，解得\(x < 2\)，所以\(B = \{x|x < 2\}\)。
那么\(A\cap B = \{x|-1 \leq x < 2\}\)。

### 2. 考点：复数的运算
本题考查复数的乘法和除法运算，以及复数的模。
解题思路：先根据复数运算法则化简式子，再求模。
已知\(z = \frac{1 + i}{1 - i}\)，分子分母同时乘以\(1 + i\)进行化简，\(z = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i\)。
复数\(z = a + bi\)的模\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)，所以\(|z| = |i| = 1\)。

## 二、填空题
### 1. 考点：函数的定义域
本题考查函数定义域的求解，要使分式有意义，则分母不为\(0\)。
解题思路：令分母不等于\(0\)，解出\(x\)的取值范围。
对于函数\(f(x) = \frac{1}{x - 1}\)，由\(x - 1 \neq 0\)，解得\(x \neq 1\)，所以函数的定义域为\(\{x|x \neq 1\}\)。

### 2. 考点：向量的数量积
本题考查向量数量积的坐标运算。
解题思路：已知向量坐标，直接代入数量积公式计算。
设\(\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)\)，\(\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)\)，则\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)。
已知\(\overrightarrow{a} = (1, -2)\)，\(\overrightarrow{b} = (3, 4)\)，所以\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1×3 + (-2)×4 = 3 - 8 = -5\)。

## 三、解答题
### 1. 考点：数列的通项公式与求和
本题考查等差数列通项公式的求解以及错位相减法求和。
解题思路：
- 先根据已知条件求出等差数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
已知\(a_1 = 1\)，\(a_3 = 5\)，设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(a_3 = a_1 + 2d = 1 + 2d = 5\)，解得\(d = 2\)。
所以\(a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1\)。
- 再求数列\(\{b_n\}\)的通项公式并利用错位相减法求和。
已知\(b_n = a_n \cdot 2^n = (2n - 1) \cdot 2^n\)。
设\(S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n = 1×2 + 3×2^2 + 5×2^3 + \cdots + (2n - 1)×2^n\) ①
则\(2S_n = 1×2^2 + 3×2^3 + \cdots + (2n - 3)×2^n + (2n - 1)×2^{n + 1}\) ②
① - ②得：
\(-S_n = 1×2 + 2×2^2 + 2×2^3 + \cdots + 2×2^n - (2n - 1)×2^{n + 1}\)
\(-S_n = 2 + 2(2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - (2n - 1)×2^{n + 1}\)
其中\(2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n\)是首项为\(4\)，公比为\(2\)的等比数列的前\(n - 1\)项和，根据等比数列求和公式\(S = \frac{a_1(1 - q^n)}{q - 1}\)（\(q\neq1\)）可得：
\(2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n = \frac{4(1 - 2^{n - 1})}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 4\)
所以\(-S_n = 2 + 2(2^{n + 1} - 4) - (2n - 1)×2^{n + 1}\)
\(-S_n = 2 + 2^{n + 2} - 8 - (2n - 1)×2^{n + 1}\)
\(-S_n = -6 + (3 - 2n)×2^{n + 1}\)
则\(S_n = 6 + (2n - 3)×2^{n + 1}\)。

以上就是对试卷中各类试题的详细解析。

# 答案总结与备考建议
本次数学试题涵盖了高中数学多个重要知识点，全面考查了学生的数学素养和解题能力。

重点题型方面，函数的综合应用、数列的通项与求和、解析几何中的直线与圆锥曲线问题等依然是考查的核心。例如函数部分，常涉及函数的单调性、奇偶性、最值以及函数图象的变换等；数列则注重通项公式的推导和求和方法的运用，像错位相减、裂项相消等；解析几何中，直线与椭圆、抛物线的位置关系，弦长公式、定点定值问题是常见考点。

易错点主要集中在概念理解不清、计算失误以及对条件的忽视。比如在函数求最值时，容易忽略定义域的限制；数列求和时，项数的确定容易出错；解析几何中，联立方程求解时，判别式的运用以及计算过程中的符号问题都可能导致错误。

备考建议如下：
针对薄弱知识点强化复习，要回归教材，深入理解基本概念、定理和公式，通过做针对性练习题加深掌握。建立错题本，将做错的题目整理分类，分析错误原因，定期回顾，避免再次犯错。
提高解题速度和准确率，需进行限时训练，模拟考试环境，合理分配时间。做完题目后认真检查，养成严谨的解题习惯。同时，总结解题方法和技巧，形成知识体系，遇到类似题目能够快速找到解题思路。
定期进行模拟考试，按照高考要求和时间安排进行全真模拟，熟悉考试节奏和题型分布。每次考试后认真分析试卷，找出自己的薄弱环节和存在的问题，及时调整复习策略。
此外，同学之间可以相互交流学习心得和解题方法，共同进步。通过多种方式的综合运用，提升数学学习能力和应试水平，为高考做好充分准备。